张益唐：零点猜想论文第二稿最快今年见，「技术细节不好写」，已开始准备投稿

明敏 克雷西 发自 凹非寺

量子位 | 公众号 QbitAI

备受瞩目的张益唐零点猜想论文第二稿，发布时间更明确了！

今年或者明年上半年，同时也在准备投稿了。

在阿里巴巴数学全球竞赛专场讲座上，张益唐亲口透露了这一消息。

和参赛选手对话时，他表示目前还在对第二版论文进行调整和完善。

我确实把它做出来了，我的结果是对的……但是我没有想到把它写出来技术细节如此复杂。

而除了聊零点猜想的最新进展外，张益唐还分享了很多自己对黎曼猜想、数论、如何做数学的看法，还有生活上的一些趣事。

比如，他从来不看评教网站，但是有听说学生对自己的评价还不错；写零点猜想论文第二稿，他觉得很不好写、很头疼……

量子位在不改变原意的基础上，将对话进行了实录整理，亮点如下：

• 零点猜想论文的最大亮点是提出了一个几乎不可能的函数。
• 论文第二版很不好写、很头痛，想尽量写清楚明白。
• 数学发展很难预测，可能今天大家还很悲观的问题，突然就会被解决。
• 越好的数学，应该越朴素。
• “我非常佩服陈景润，他对我影响很大。”
• 中国数论学派很会算的传统不要丢，AI发展很好的情况下，人也应该会计算（广义上的计算）。
• 做数学要耐得住寂寞，注意基础功底。

完整内容，在此奉上~

（参加对话的参赛选手分别是：斯坦福大学张盛桐、多伦多大学王璟晗、北京大学陈泽坤以及数学爱好者快递小哥孙金元）

AI时代人还是要会计算

□“论文第二版确实很不好写、很头痛”

斯坦福张盛桐：张老师您好，我是来自斯坦福大学的张盛桐，现在主要在做组合，也关注数论解析方面的内容，关于关于Siegel零点猜想的那篇论文，我其实没有看懂。所以好奇关于零点猜想最近有哪些研究方向？这个论文是如何产生的？

张益唐：这个事情很有意思。关于零点猜想可能发表的论文不多，但是我和很多专家聊过，大家其实都知道有一个可能的方向——我们是要证明Landau-Siegel零点不存在。

如果我假设它存在，或者在一定范围内存在。这个问题本来是一个单独的Siegel L函数的零点，我可以将它和一个很大的family of the L函数的零点分布连在一起。在很大的family of L函数的零点分布上会有一些非常强的结果，这个事情很有意思，而且它可以得出一个非负的不等式。

因为我顺便想到Riemann ζ 函数和Dirichlet L 函数，如果它要乘上一个相对简单的γ因子的话，那么它在1/2这条线上，就它实部等于1/2这条线上，它可以取实，这是可以从内函数方程式得出来的，它就是个实函数。

如果是实函数，那么它肯定是连续、可微，它有一个中值定理，如果它在一个区间上不等于0，那么它就永远是正的，或者永远是负的。于是我能得出一个正的不等式，给出一定的函数，对每一个这样的L函数，在那条线上一定区间里，有一个表达式一定都是非负的。

于是，有点像这个东西的想法。我给它去呈现一个非负的东西，然后再去求和，如果我能证明乘出来的这个非负东西求和是负的话，那就出现了矛盾。出现矛盾就说明，Landau-Siegel零点不存在。

去年写的那个东西把这个有点搞复杂了，但本质上就是干这个事情。

我也可以确定我那个结果是对的，但我确实没把它写好。确实现在很头疼，非常不好写。但我还在想进一步简化，能不能把它写清楚。

我的第二版很快也会公布出来，同时也在准备投稿了。现在就处于这么一个状态。

□“我讲课非常谨慎、比较下功夫”

斯坦福张盛桐：我有听说您上课非常受同学欢迎。

张益唐：你从哪里看到的？

斯坦福张盛桐：Rate my professor（北美非常著名的一个评教网站）。

张益唐：哦是吧，因为我从来不看这个，那你觉得我刚才讲的好不好哈哈？

斯坦福张盛桐：非常好。

张益唐：是吗？那谢谢你。对于教课，我觉得你们如果之后如果当教授、教课要记住一个东西，我们数学里面讲充要条件。真正懂这个东西，是你能教会、教好的必要前提，但不是充分条件，懂了不见得能讲好。

因为我知道这一点，所以我在讲课的时候还是比较谨慎、比较会下功夫的。对于评价好不好，我也没有去网上看，反正听别人说大家对我评价还不错。

□很多东西看似不可能，但下决心去做还是能有新发现

多伦多大学王璟晗：张老师您好，我是王璟晗，现在在多伦多大学读本科，同时是哈佛大学的科研助理。您认为我们距离真正解决哥德巴赫1+1猜想还需要多久？目前这个方向上科学家们的主流路线是什么？

张益唐：据我所知1+1目前没有什么人在做，因为实在是做不动。但具体还有多少距离，数学发展其实很难预测。

我举一个例子，哥德巴赫猜想差不多在300年以前被提出，它和费马大定理不同。费马大定理在19世纪的时候已经蓬勃发展了，而且推动了交换代数、代数数论等方面的发展，产生了很多成果。但哥德巴赫猜想一直到20世纪初，都还一点儿都做不动，只能做一些验证。

顺便再讲一个例子，在1900年国际数学家大会上，大卫·希尔伯特提了23个问题，但实际上是把黎曼假设、哥德巴赫猜想、孪生素数猜想归在一个问题里，他希望人们能够通过证明黎曼假设以后对素数有更多了解，然后再来做哥德巴赫猜想。

到了1920年时，当时著名数学家哈代还说过一句话，哥德巴赫猜想可能是所有没有解决的数学问题里最困难的一个。那时候大家都悲观得不得了，可是也几乎就在同时，马上有了好几方面突破。一个就是玮哥·布朗（Viggo Brun）用了筛法，后来还有一个方向叫圆法，即使这样做到了60年代，1+5、1+4、1+3都在不断做了，可是到了1+3的时候，人们认为已经到头了，筛法已经到顶峰了。

陈景润在1966年《科学通报》上宣布他做出来了1+2，但是他没有给出具体的证明。就是我说的第三个集合，{x-p1p2p3}。于是人们认为，这个东西还是得用老办法，就是x-p，不是x-p1p2p3。

当时好像有一个著名的数学家在陈景润发布结果后做了一场演讲，表示陈景润不可能做出来1+2证明，因为X-P达不到这个精度。

这只是他没有想到x-p可以变成x-p1p2p3，陈景润工作的关键也是完成了这个转换。这其中还牵扯到很多很复杂的问题比如余项估计，都被他克服了。所以陈景润1973年的成果出来后，当时轰动的不得了。于是下面又有一个问题出来，1+1证明怎么办？在50年之后的今天，人们认为目前方法无法做出来。

甚至有一种说法认为，从1+2证明到1+1证明之间的距离，比哥德巴赫猜想到1+2证明之间的距离还要大。

但是不能否认一样，这就是数学尤其是数论，也可能在过一两年后有一个特别聪明的人，比如像你们这样的年轻人，就能想出一个办法一下子突破，这种可能性不是没有的。

而且我希望你们真的有兴趣，不过也不用非要下决心一定做出来（当然有决心也是好的），有时也有现实的考虑，但至少我们要关心这个问题。

还是那句话，数论里很多东西都是意想不到的。

这里我顺便提一下，我做的这个素数孪生证明是2013年，在这几年前斯坦福有一个叫America Institute of Mathematics，AIM的独立非营利组织，现在好像又要搬到加州理工去了。那里他们专门搞了一个workshop（研讨会），把所有这方面的专家都请过来，就说素数孪生他就差一步，能不能突破，但当时最后结论非常悲观，谁都认为这不可能突破。

我没有参加这个会，不知道这么悲观，但是我最后把它给突破了。

所以很多东西看起来是不可能的，但是如果你下定决心去做，还是能发现很多东西的，尤其是在解析数论领域。我希望我们的同学还是应该对自己有一定的信心。

□x=p+1的情况没必要做太多考虑

北京大学陈泽坤：张老师您好，我是陈泽坤，现在在北京大学读博士，学的也是数论。我问一个技术上的小问题，您刚刚分享的1+2证明里，好像也没有排除x-p是1的情况，是不是也存在x=p+1的情况？

张益唐：这样的话x值会很限制，它没有排除掉这个情况，但是那些x不多，我们这里要解决的问题是每一个x，都是两个素数之和。比如x=p+1，它也不是两个素数之和，1不是素数，所以这个问题应该一般来说不是很重要。

北京大学陈泽坤：所以最后是能找出来很多组吗？有一组是x=p+1没关系，是这个意思吗？

张益唐：说到这里还专门有一个问题叫哥德巴赫猜想的例外集合。比如说给定一个很大的数y，在小于等于y的偶数里，最多有多少个不是两个素数的和？它有一个上界估计，那只是y的一个次方，那个当然是次方小于1的了，这方面现在还可以继续做。最早应该是华老（华罗庚）和另外几个人做的。

几乎所有的素数偶数都是两个素数之和，这是另外一个问题。至于x=p+1，那我就去定义这个x=素数+1，我觉得这个可能没有太多必要。

北京大学陈泽坤：所以这相当于是另外一个方向了吗？

张益唐：当然了，数论有时候就会这样。我们都知道黎曼假设有很多很多方向，但是有一天如果真的做了出来，那么一些其他方向的结果也就都不需要了。

□越好的数学应该是越朴素的

快递小哥孙金元：张老师您好，我是一个快递小哥，平常很喜欢数学，会趁着上班间隙学数学。我刚刚听您讲到陈景润1+2证明，这看上去是一个非常高大上的证明，但过程其实非常朴素，所以从心底非常佩服数学家的工作。

张益唐：数学这个东西，用你的话来讲，看上去高大上，但是一旦真正进入领域后，就会发现越好的数学应该是越朴素的。不朴素的就是故弄玄虚。当你弄懂了这个东西，想法就是一步一步，人类科学或者思维的发展，数学是要非常讲究逻辑性的，但是我们现在能想到的这些技巧，因为很多人在想的时候，他已经把自己的思维个束缚住。

比如做筛法第一个类集合，但是想做的就是n(x-n)，那个时候人们都是做这东西，能不能直接把p弄进去？

如果直接弄进去会有一个问题，要把x-p里小的数因子去掉，如果想要去掉，先要估计出有多少，数因子个数越少一般会估计越精确，但想要估计出来是非常困难的。

但是n(x-n)这方面的空间还是相对容易的，所以那时候就没有人往那边去想。

不过匈牙利数学家Alfréd Rényi就想到，为什么我不能考虑这个集合？也比如陈景润做到x-p1p2p3，他公布后也有人表示怀疑，因为没有人想到对这个集合去做。

所以我认为做数学的思路要尽量宽一点，当你发现自己在钻牛角尖的时候，就停一下、往回走，回到出发点，看自己是怎么一步一步走到这里来的，这中间有没有别的东西值得做。当你回过头来再去想这个问题，你可能会发现一些新内容。

还有不管你在想什么问题，我们的思路永远会有局限性，最好提醒一下自己：你想的这个东西，只是一个更大、更完整的特殊情况，要再这样想想思路才能开阔。

这里就像是我们说筛法等方式，最后都涉及到一个问题是，要找出一个函数。陈景润的证明里说这个函数在素数的值应该等于1，或者换一换也可以，其他地方就要大于0。

其实从布朗的筛法开始，就发现了一些很巧妙的东西，但它有很强的组合性，而且很复杂，这个东西在一定条件下就是大于等于0。

但是塞尔伯格就换了一种，有人说他的想法别出心裁。干脆就先取一个实函数，不管究竟大于0还是小于0，最后要这个函数的平方。实函数的平方最后大于0，所以塞尔伯根的筛法是非常有用的，我们也在不断用这个想法。

但是具体的我是有点犹豫，要不要讲我方法里那个f(m)的平方、g(m)的平方在f(n)到底怎么取，这又牵扯到筛法里一个很大的问题了，表达式复杂得不得了，我只能先提一下，以后我们有机会再讲得更细。

快递小哥孙金元：还有一个问题想请教张老师，是如何克服做数学不被人理解？以及过程中的枯燥无聊？

张益唐：第一，不要去关注别人怎么想你，想多了会分心；第二，做数学要耐得住寂寞，90%以上的时间是自己一个人闷头做，不是经常有激动人心的结果，成年累月做数学后有几个结果已经是非常不错的了。

□中国数论学派很会算的传统不要丢

组委会：谢谢张老师的回答，今天线上也有不少关心数学的网友和媒体来围观直播，他们也提了一些问题，我们摘取了其中两个来向张老师提问。

第一个问题来自量子位：您不止一次在公开分享中讨论“陈景润证明1+2”，为什么想多次探讨这一问题？之前您还表达过“中国数论学派很会算的传统不要丢掉”，可以分享下背后的思考吗？陈景润先生给您在学术和个人生活上都带来了哪些影响？

张益唐：首先从我个人来讲，非常佩服陈景润，他确实非常会算。

如果没有他那个功夫的话，他做不成。而我佩服他的主要还是在那样的条件下完成这个工作。现在我们计算Landau-Siegel零点的结果，用一个普通的数学软件就能算出来。但是陈景润那时候用的是算盘、对数表和计算尺。据说他的草稿纸就装了好几麻袋，我是相信的。

尤其是他1966年发表的论文《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》，写了200多页，北京大学闵嗣鹤教授给他逐字逐句检查，最后才确定完全是对的。这个事现在对于我来说，都是不可思议的。

为什么p1是在这个区间段、p2是在另一个区间段，这其中是需要经过很多计算的。而且他每次最后都是一些数值计算，经常是一些重积分，都是因为他经过大量的计算之后，才能发现一些有用的规律。

我认为数论，至少在解析数论方面，将来还是有很多东西需要算。而本来中国数论学派的传统在这方面是擅长的，所以我希望它不要被丢掉，因为这是有用的。

另外我还说一句，作为过来人，我非常佩服陈景润，应该说他对我也有影响，就像他对我们一代人都有影响一样。

组委会：追问一下张老师，在目前计算机时代、甚至AI时代来临，“会算”这样一个传统，它的价值我们该如何理解？

张益唐：我现在对于AI的理解不是AI能取代人、战胜人类，它可以提供非常快速的计算，或者一些有逻辑思维的东西，但是目前我理解AI还是需要靠人。

问题是人提出来的。AI再强大，也是需要输入一个问题进去的。当然我对AI的发展前程是很乐观的，它能够帮助人们去做很多事情。

但我认为还是需要人，并且应该计算。不是做100+200这种计算，而是你能否把这些关系式、公式列出来，这也是一种广义上的算。

□论文第二版今年或明年上半年发布

组委会：下一个问题来自知乎网友，您前面提到了关于零点猜想的工作，我记得您论文发表之后引起很大反响。这些反响中有没有哪些是超出您预期的？以及关于零点猜想工作有什么最新进展吗？

张益唐：首先我想说那篇论文不是正式发表，只是先上传arXiv上，想让大家看一看。

但是我没有想到的是，把这个东西写出来技术细节会如此复杂，所以我现在还需要去修改。这个结果怎么样？我还是那句话，我确定是把它做出来了，我的结果是对的。我的第二稿会比第一稿再改进一些。

预计发布时间会在今年或者明年上半年。

□做数学，基本功很重要

组委会：我们阿里巴巴全球数学竞赛每年都有5万多选手来报名，在这里有数学专业学生和研究者，更多是来自各行各业的数学爱好者。对这些数学爱好者，您有什么寄语吗？

张益唐：就是注意你的数学基础，你必须有足够的功底。你可以爱好数学，但如果真的要做数学，基本功的训练还是非常重要的。

斯坦福张盛桐：最后想再问一个问题，我想知道您认为零点猜想证明论文中最主要的创新点是什么？

张益唐：我构造了一个几乎是不可能的函数。这个函数带进去，最后就能假设零点存在，推倒出矛盾，最后证明零点不存在。

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以上是此次张益唐和阿里巴巴全球数学大赛选手对话的全部内容。

值得一提的是，在对话第二天，“张益唐力挺‘陈景润证明1+2’的研究意义”话题登上了知乎热榜。张益唐本人也亲自回答了这一问题。

其中，他再次强调了陈景润在学术上的贡献以及做学问的精神。

陈景润对于当代中国数学学子也有启发意义，那就是做数学研究胆子要大、立意要高。像数论会有一个特点，有些问题历史悠久，做了几百年谁都做不出来。这时候，有些人就会打退堂鼓：别人也都挺聪明的，做了那么久，都没做出来，我能做出来吗？

事实上，中国的年轻人不比国外的差，甚至要更聪明，我们应该志存高远。当然，我们一定要把基本功练扎实，避免眼高手低，很多东西到最后避不开具体算，不要下不了手。希望中国年轻人在科研上创造新的奇迹。

如今，距离陈景润证明1+2工作已经过去了五六十年，但依然具有很强的创新意义。

故此，在此次直播中，张益唐也带来了主题为《陈景润的加权筛法和素数之间的有界距离》的分享。

具体内容，我们进行了梳理整理

哥德巴赫猜想与陈景润的加权筛法

张益唐分享的主题是陈景润的加权筛法和素数之间的有界距离问题。

这关系到数学界的两个重要猜想——哥德巴赫猜想和孪生素数猜想。

他介绍，这两个内容看似不相关，但本质上都是筛法，只是表现形式有所差别。

筛法创立之初的用途是制作素数表，随着研究的深入开始发展出分支，其中就包括陈景润的加权筛法。

□哥德巴赫猜想与陈景润的加权筛法

张益唐从哥德巴赫猜想的概念和历代数学家逐步接近的过程开始讲起。

哥德巴赫猜想说，任意一个不小于6的偶数都能表示成两个奇素数的和。

数学界将其称为“1+1”，到目前为止还没有人能够证明，而陈景润证明了它的前一步“1+2”，即任意一个不小于6的偶数都能表示成一个奇素数与两个奇素数之积的和。

不妨设不大于y的所有素数的乘积为P(y)。

假设x是一个大偶数，欲证其为两个素数之和，只需证明下面这个集合为非空集合：

(a,b)表示a和b的最大公因数

如果x-p没有小于等于x1/2的素因子，则x-p一定是素数。

但遗憾的是，到目前为止还没有人能够证明这个集合非空，即无人能证明“1+1”。

不过张益唐介绍了历代数学家们从“9+9”、“2+3”……逐渐接近“1+1”的过程。

• 上世纪20年代，挪威数学家Brun证明了“9+9”。
• ……
• 1948年，匈牙利数学家Renyi证明了“1+c”。(c为一个大自然数)
• 50年代，中国数学家王元院士依次证明了“3+4”、“3+3”和“2+3”。
• 60年代初，中国数学家潘承洞证明了“1+5”，王元证明了“1+4”。
• 1965年，苏联和意大利的数学家证明了“1 + 3 ”。
• 1966年，中国数学家陈景润证明了“1+2”。（正式发表是在1973年）

（“m+n”则表示m个奇素数之积和n个奇素数之积的和。）

与“1+1”同理，如果下面的集合为非空集合：

则必存在小于x的整数p满足x-p有至多两个素因数。

陈景润从集合S1开始，证明了其中存在素数p满足x-p在x1/10和x1/3之间至多有一个素因数p1，以及最多一个大于x1/3的素因数p2。

陈景润证明的一个关键步骤是下面这个集合当中元素的数量：

其中p1、p2、p3均为素数，且有：

陈景润发现，集合S2和下面的集合中的元素相同：

于是问题就变成了估计集合S3中的元素数量。

那么具体应该如何估计呢？

我们不妨假设函数g(n)在n是素数时值为1，其他情况未知，但g(n)2为一个很小的正实数。

于是集合S3中的元素数量上限不超过下面的表达式：

而这个求和式的上限求解方法，张益唐放到了下一环节进行讲解。

□孪生素数猜想与素数之间的有界距离问题

我们不妨假设函数ρ(n)当n为素数时值为1，否则为0。

那么，孪生素数猜想则可以表示为满足下式(当且仅当n和n+2都是素数时成立)的n值有无数个：

设一系列非负整数m0~mk满足：

假设存在这样一个函数f(n)

当且仅当下面的数列中包含两个距离不超过mk的素数时，f(n)>0。

为了证明我们的结论，只需证明存在一个mk<7×107的这样的数列满足对任意x>0均有n>x使得f(n)>0。

下式中，c(n)是和x相关的实函数，我们的目标就是构建这样一个系数c(n)使得下式恒大于0，以保证在(x,2x)区间上存在整数n使f(n)>0。

最终，这一结论在2013年得到了证明，上一环节中集合元素数量上限的求解也使用了这种方法。

以上为此次专场讲座的全部内容，让你印象最深刻的金句or观点是什么？

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